Le mouvement brownien, des lois microscopiques aux phénomènes macroscopiques, L1.
En 1827, le botaniste Robert Brown mit en évidence un phénomène remarquable, en observant au microscope des grains de pollen baignant dans un liquide. Ceux-ci s’agitaient continûment, comme s’ils étaient capables de se déplacer. L’hypothèse qu’il s’agissait là « d’animalcules élémentaires » fut rapidement écartée, et c’est en 1905 qu’Albert Einstein proposa que le mouvement erratique des grains de pollen fut en réalité le résultat de collisions entre les molécules du liquide et les grains en suspension.
Cette théorie fut vérifiée en tout point expérimentalement trois ans plus tard par Jean Perrin (Prix Nobel en 1926), qui écrivit « il devient donc difficile de nier la réalité objective des molécules ». Le mouvement moléculaire nous est rendu visible. Le mouvement Brownien en est l’image fidèle, ou mieux, il est déjà mouvement moléculaire ». Grâce à cette expérience on a pu déterminer le nombre d’Avogadro.
La marche aléatoire est omniprésente dans nos vies et les lois sur des échelles macroscopiques émergent d’un comportement microscopique complexe, comme la marche aléatoire. Le mouvement brownien autrement appelé le mouvement aléatoire ou encore random walk peut être traité dans les 3 dimensions.
Le but de ce projet est de comprendre et de simuler numériquement ce phénomène, sa représentation mathématique, qui apparait dans de nombreux domaines : physique (chocs moléculaires, agencements de chaînes de polymères …), finance.
On analyse ce phénomène d’abord en une dimension, c’est à dire que la particule (qu’on appelle aussi le « marcheur ») ne peut se déplacer que d’un certain pas à gauche ou à droite. Ensuite on étudiera le phénomène dans deux dimensions, où le marcheur se déplace d’un pas donné avec un angle déterminé au hasard. On fera enfin le lien avec l’équation de diffusion, qui est une exploitation de ce phénomène appliquée à la mécanique.
CMI SORBONNE 